CONTRACCIONES EN ESPACIOS MÉTRICOS
Sea (X,d) un espacio métrio y f:X→X una aplicacíón tal que d(f(x),f(y))≤αd(x,y) (0<α<1), ∀ x,y ∈X. Diremos que f es una contracción. Recuerde que x ∈X es un punto fijo para f, si f(x)=x.
Si X es un espacio métrico completo y f:X→X es una contracción, entonces f tiene un único punto fijo. Si consideramos un punto cualquiera z∈X, denominemos por wn=fn−1(z) con n≥1, luego wn=f(wn−1) y d(wn+1,wn)=d(f(wn),f(wn−1))≤αd(wn,wn−1)≤...≤αnd(w1,z)Por lo tanto d(wn+k,wn)≤d(wn+k,wn+k−1)+d(wn+k−1,wn+k−2)...+d(wn+1,wn)≤(αn+k−1+...+αn)d(w1,z)De la anterior expresión se deduce que wn es una sucesión de Cauchy y por ser X completo, wn→w. Se prueba sin dificultad que f(w)=w y w es el único punto fijo de la aplicación f. Ejercicios1.-(a) Sea (X,d) un espacio métrico y f, g:X→X tal que f∘g=g∘f. Demuestre que los puntos fijos de g son invariantes para f. (b) Si f:X→X es una aplicacíón tal que fn ( para n>1) tiene un único punto fijo, entonces f tiene un único punto fijo. (c) Si X es completo y f:X→X una aplicacíón (no necesariamente continua) tal que fn ( para n>1) es una contracción, entonces f tiene un único punto fijo. Solución.. (a) Sea M={ x∈X: g(x)=x}, luego si x∈M, entonces g(f(x))=f(g(x))=f(x). Esto dice que f(M)⊆M. (b) Supongamos que fn(x)=x con x el único punto fijo, luego f(fn(x))=f(x). Se deduce que fn(f(x))=f(x), por lo tanto f(x)=x. La unicidad para f de sus punto fijo es evidente. .(c) Supongamos que d(fn(x),fn(y))≤αd(x,y) (0<α<1), ∀ x,y ∈X. Sabemos que fn tine un único punto fijo w. Por la parte (b) se deduce que f tiene un único punto fijo. 2. Sea (X,d) un espacio métrico completo y f, g:X→X tal que f∘g=g∘f. Supongamos que f es contracción. Probar que existe un único punto fijo para ambas aplicaciones. Solución. Como f es una contracción en un espacio métrico completo tiene un único punto fijo x. Por otro lado g(f(x)=g(x)=f(g(x)), luego g(x)=x. El resultado se sigue. 3.-Sea (X,d) un espacio métrico completo y f:X→X tal que d(f(x),f(y))<d(x,y), ∀ x,y ∈X. Si X es compacto, entonces f tiene un único punto fijo. Solución. Definamos la función real h(x)=d(x,f(x)). Veamos que h es continua sobre el compacto X. Si xn→x, por la continuidad de f, f(xn)→f(x). Se deduce que d(xn,f(xn))→d(x,f(x)). Esto dice que h es continua. Como X es compacto, infx∈Xd(x,f(x))=d(w,f(w)). Como d(f(w),f(f(w)))<d(w,f(w), deducimos que f(f(w))=f(w). De hecho hemos probado que infx∈Xd(x,f(x))=0=d(w,f(w)). Es decir f(w)=w. Si f(z)=z, luego d(f(z),f(w))=d)z,w)<d(z,w), Esto es contradictorio si z es diferente de w. Se termina la demostración. 4.-Demostrar que si en el ejercicio (3) se elimina la condición de compacidad de X, entonces el resultado es falso. Solución. Sea el espacio métrico X=[1,+∞) con la métrica usual en los números reales. Si f(x)=x+1/x, ∀ x ∈X. Veamos que f es creciente estrictamente. En efecto f´(x)=1−1/x2>0, ∀ x>1. Por lo tanto si x>y, |f(x)−f(y)|=x−y+1/x−1/y<x−y=|x−y|. Veamos que f no tiene un punto fijo, de lo contrario existe w∈X, con f(w)=w−1/w=w, luego 1/w=0, lo que es contradictorio. 5.-Sea (X.d) un espacio métrico completo, fn y f contracciones sobre X. Si fn converge uniformemente a f, demostrar que si wn es el único punto fijo de cada n y w es el único punto fijo de f, entonces wn converge a w. Solución. Supongamos que fn(wn )=wn y f(w)=w. Como fn→f uniformemente , para ε>0, existe un n0>0, tal que para todo n>n0, d(fn(z)f(z)))≤ε para todo z en X. Como d(wn,wm)=d(fn(wn),fm(wm))≤d(fn(wn),f(wn))+d(f(wn),f(wm))+ d(f(wm),fm(wm))≤2 ε+αd(wn,wm) siendo 0< α<1 con α constante de contracción para f. Se deduce que (1−α)d(wn,wm)≤2 ε , luego la sucesión wn es de Cauchy y existe un x en X, tal que wn →x. Por otro lado d(x,f(x))≤d(wn,x)+d(fn(wn),f(wn))+d(f(wn), de lo que se deduce por el paso al límite que d(x,f(x))=0. Es decir f(x)=x, esto termina la prueba, Nota. Es importante resaltar que los resultados presentados son ejercicios del capítulo de tópicos especiales en espacios métricos del libro: "Set theory and metric spaces" de Kaplansky. Editorial chelsea. 1972. Boston.