^{ESPACIO PRODUCTO}

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Sean (X,d) y (Y,d´) dos espacios métricos, podemos definir su espacio producto X×Y, mediante la métrica d´´((x,y),(w,z))=(d(x,w)²+d´(x,w)²)^1/2. Es claro que (x_n,y_n)→ (x,y), si y sólo si, x_n→x, y_n→y en las métricas respectivas.

Ejercicios.

1.-Sean (X,d) y (Y,d´) dos espacios métricos. Probar que la proyección natural π:X×Y→Y, por π(x,y)=y es una aplicación abierta.

Solución.

Sea U un abierto en X×Y y π(U)=V. Dado y∈ V, existe x∈ X tal que (x,y)∈U y por lo tanto dos bolas abiertas B(x,r) en X y B(y,s) en Y tales que B(x.r)×B(y.s)⊂U, luego π( B(x.r)×B(y.s))=B(y,s)⊂V. Esto prueba el resultado,

2. Sean (X,d) y (Y,d´) dos espacios métricos con (X,d) compacto, Pruebe que la proyección natural π:X×Y→Y es cerrada.

Solución. Sea F un cerrado en el espacio producto X×Y y W= π(F). Sea w un punto de la clausura W^—, existe por lo tanto una sucesión π(z_n,w_n)=w_n→w, con (z_n,w_n) ∈ F . Como X es compacto, existe una subsucesión z_{n_k}→x; y por ser F cerrado y (z_{n_k},w_{n_k})→(x,w), deducimos que (x,w) ∈ F. Por lo tanto π(x,y)=w ∈W.

3.-(a) si f es una aplicación continua de un espacio métrico X en un espacio métrico Y, probar que el gráfico de f es cerrado en el espacio producto X×Y . (b) Si Y es compacto y el gráfico de f es cerrado, entonces f es continua.

Solución. (a) sea una sucesión (x_n,f(x_n)→(x,y). Veamos que f(x)=y. Como x_n→x, por ser f continua, f(x_n)→f(x). Por la unicidad del límite f(x)=y, Esto prueba que el gráfico de f es cerrado.

(b) Supongamos que x_n→x, luego (x_n, f(x_n) pertenece al gráfico de f. Además existe f(x_{n_k})→y, por la compacidad de Y. Es decir (x_{n_k}, f(x_{n_k})→(x,y). Como el gráfico es cerrado, deducimos que (x,y) pertenece al gráfico de f, es decir f(x)=y. Esto prueba lo pedido.

4.-Sea (X,d) un espacio métrico y consideremos el espacio producto de X por sí mismo X×X=X². La diagonal del producto es el subconjunto Δ={ (x,x):∈ X } . Pruebe que la diagonal es un subconjunto cerrado en X².

Solución. Sea ( x_n, x_n)→(x,y). Se deduce que x_n→x, y_n→x, luego y=x. Esto prueba lo pedido.

Nota.
Es importante resaltar que los resultados presentados son ejercicios del capítulo de tópicos especiales en espacios métricos del libro: "Set theory and metric spaces" de Kaplansky. Editoril chelsea. 1972. Boston.